Question

如图，在棱长为a的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AC 与BD相交于点O．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）首先根据线面垂直的性质定理，进一步求出线线垂直，AA₁⊥平面ABCD，AA₁⊥BD，AC⊥BD然后求出BD⊥平面A₁ACC₁，进一步求出直线 A₁B 与平面ACC₁A₁所成的角为∠BA₁O，通过运算求出夹角的大小．

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，BD⊥平面A₁ACC₁，进一步求出：AO⊥BD，A₁O⊥BD，二面角 A₁-BD-A 的平面角为∠A₁OA，然后通过解直角三角形二面角 A₁-BD-A 平面角的正切值．

（Ⅰ）连结A₁O

在棱长为a的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC 与BD相交于点O．

∵AA₁⊥平面ABCD，

∴AA₁⊥BD，AC⊥BD

BD⊥平面A₁ACC₁

直线 A₁B 与平面ACC₁A₁所成的角为∠BA₁O

在Rt△A₁OB中，

由于正方体的棱长为a

进一步求出：A1B＝

2a，BO=

2

2a

sin∠BA₁O=

2

2a

2a=[1/2]

所以：∠BA₁O=30°

则：直线 A₁B 与平面ACC₁A₁所成的角为30°

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：BD⊥平面A₁ACC₁

∴AO⊥BD，A₁O⊥BD

二面角 A₁-BD-A 的平面角为∠A₁OA

由题中的条件求出：AO=

2

2a，AA₁=a

tan∠A₁OA=

a

2

2a=

2

所以二面角 A₁-BD-A 的正切值为

2．

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和性质定理，线面夹角的平面角的求法，二面角的平面角的求法，特殊角的三角函数值，及相关的运算问题．