一道数学竞赛题的推广
北京市良乡中学 张志欣
1984年初三数学竞赛有这样一道题：
“对任给97个互异的正整数,试证其中必有四个正整数,仅用减号、乘号和括号,将它们适当组合成为一个算式,其结果是1984的倍数.”
解这道题要用到抽屉原理：
把三个苹果放到两个抽屉里,一定有一个抽屉里至少放两个苹果,这是一个明显的事实.类似地,任意取三个互异整数,至少有两个是奇偶性相同的数.于是,下面的命题自然是正确的：“任取三个整数,则这其中必有两个数的差能被2整除.”我们可以把奇数和偶数看成两个抽屉,三个数放在里面,其中一个抽屉中至少有两个数.只要是同一抽屉争的两个整数的差就能被2整除.
同样,任取四个互异整数,其中必有两整数差能被3整除,更一般的结论是n+1个互异整数中,必有两整数的差能被n整除.
上题的解法是：
证明：由1984=64×31将97个互异正整数分成两组：一组32个,一组65个,则32个数中必有两数的差是31的倍数,设此两数为A和B,别有A-B=31n,另一组65个数中必有两个数的差是64的倍数,设它们为M,N,则M-N=64m,
∴(A-B)(M-N)=31n×64m=1984mn,
即为1984的倍数,此题证毕.
细思索一下,其实这个题的条件是过剩的,这大概是为了让初三的同学们更容易解出,题目中的条件“97个互异整数”可以减少到“65个互异正整数”,其他条件不变就能得出相应的结论.方法是,先从65个整数中挑出两个正整数A、B,使它们的差能被64整除,在剩下的63个数中当然能挑出两数M,N,使其差为31的倍数,
∴(A-B)(M-N),是1984的倍数,此题证毕.
如果注意到1984=62×32,即使选63个互异正整数,也有相应的结论,方法如下：从63个数中先挑出两个数A与B,使其差能被62整除,再从剩余的61个数中挑出其差能被32整除的两数M与N.
∴(A-B)(M-N)是1984的倍数,证毕.
通过以上题目,熟悉了抽屉原理,还可以编出类似的题目.例如：
任取65个互异正整数,试证其中必存在四个整数,仅用减号,乘号,括号,将它们适当组成一个算式,其结果是1984的偶数倍.
证明：(1)从65个数中取出其差为64的倍数的两数A与B,即A-B=64m
(2)从剩余的63个数中再挑出其差能被62整除的两个数M与N,则M-N=62n=31×2n
∴(A—B)(M-N)=64m×31×2n=1984×2mn
命题证毕.
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