解题思路：（1）把x=2代入可求得q与p的关系式；
（2）由△=b2-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况；
（3）先写出该抛物线的顶点坐标，方程根与系数关系可求线段AB的长，进而求得△AMB的面积表达，从而求得最小值．
（1）把x=2代入得22+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；
（2）证明：∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q＞0，
由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（5分）
（3）抛物线顶点的坐标为M(−
p
2，
4q−p2
4)，（6分）
∵x1，x2是方程x2+px+q=0的两个根，
∴
x1+x2＝−p
x1x2＝q，
∴|AB|＝|x1−x2|＝
(x1+x2)2−4x1x2＝
p2−4q．（7分）
∴S△AMB＝
1
2|AB|•|
4q−p2
4|＝
1
8(p2−4q)
p2−4q，（8分）
要使S△AMB最小，只须使p2-4q最小．
由（2）得△=p2-4q=（p+4）2+4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S△AMB=1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x2-4x+3．（10分）
点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．
考点点评： 考查了代入法、判别式△的使用，以及一元二次方程中根与系数的关系、三角形面积的求法、最大最小值的求解等内容．