Question

已知实数a＞0，命题p：∃x∈R，|sinx|＞a有解； 命题q：∀x∈[[π/4]，[3π/4]]，sin2

Answer 1

解题思路：（1）首先，命题p为特称命题，其否定为全称命题，直接结合含有一个量词的否定进行处理即可；

（2）先判断所给命题的真假，然后，根据“且”构成的复合命题的真假判断方法进行求解．

（1）∵命题q：∀x∈[[π/4]，[3π/4]]，sin²x+asinx-1≥0，

∴￢q：∃x∈[[π/4]，[3π/4]]，sin²x+asinx-1＜0．

（2）∵p且q为真，

∴p和q都为真，

∴命题p：∃x∈R，|sinx|＞a有解为真命题，

则a∈（0，1），①

∵命题q：∀x∈[[π/4]，[3π/4]]，sin²x+asinx-1≥0．

∴设t=sinx，则t∈[

2

2，1]，

∴a≥[1/t]-t，

∵y=[1/t]-t为减函数，

所以当t=

2

2时，y=[1/t]-t取得最大值为

2

2，

∴a≥

2

2，②

结合①②，得

a∈[

点评：

本题考点： 复合命题的真假；命题的否定．

考点点评： 本题重点考查了简单命题的真假判断，复合命题的真值表应用，注意“且”的含义，理解全称命题和特称命题的否定方式和方法，属于中档题．