Question

若不等式3x2+2x+2x2+x+1＞k对一切实数x恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

解题思路：将不等式恒成立转化为一元二次不等式恒成立，利用判别式△＜0，即可得到结论．

∵x²+x+1＞0恒成立，

∴不等式恒成立，

则不等式等价为3x²+2x+2＞k（x²+x+1），

即（3-k）x²+（2-k）x+2-k＞0恒成立，

若k=3，则不等式等价为-x-1＞0，即x＜-1，不满足条件．

若k≠3，要使不等式恒成立，则满足

3−k＞0

△＝(2−k)2−4(3−k)(2−k)＜0，

即

k＜3

(k−2)(3k−10)＞0，

∴

k＜3

k＞

10

3或k＜2，

即k＜2．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式转化为一元二次不等式是解决本题的关键，注意讨论二次项系数是否为0．