求过点A(2,3),被两直线L1:3x+4y-7=0和L2:3x+4y+8=0截得的线段长为3倍根号2的直线L的方程

3个回答

  • 设直线L的方程是y-3=k(x-2)

    L:y=kx-2k+3...1

    L1:3x+4y-7=0...2

    L2:3x+4y+8=0...3

    将1式代入2式,找出L与L1交点:

    3x+4(kx-2k+3)-7=0

    x=(8k-5)/(4k+3)...A

    再将A代入2式中:

    3A+4y-7=0

    y=(k+9)/(4k+3)

    所以L与L1交点是【(8k-5)/(4k+3),(k+9)/(4k+3)】

    将1式代入3式,找出L与L2交点:

    3x+4(kx-2k+3)+8=0

    x=(8k-20)/(4k+3)...B

    再将B代入3式中:

    3B+4y+8=0

    y=(9-14k)/(4k+3)

    所以L与L2交点是【(8k-20)/(4k+3),(9-14k)/(4k+3)】

    截得的线段长3√2,所以这两交点之间距离是3√2.由距离公式可得:

    3√2=√【[(8k-5)/(4k+3)-(8k-20)/(4k+3)]²+[(k+9)/(4k+3)-(9-14k)/(4k+3)]²】

    63k²+432k-63=0

    解得k=-7或k=1/7

    把k值分别代入L中,解得两条L方程是:

    7x+y-17=0或x-7y+19=0

    另一个方法:

    直线L1斜率=-3/4,直线L2斜率=-3/4,所以L1和L2是两条平行线.他们的距离d是|8-(-7)|/√(3²+4²)=3

    经画图知道,直线L和两平行直线夹角是45°

    设直线L斜率为k:

    tan45°=|(k2-k1/(1+k1k2)|

    则1=|k-(-3/4)|/(1-3k/4)

    解得k=-7或k=1/7

    用点斜式方程:y-3=k(x-2)

    再把k值代入L的方程中,得到:

    7x+y-17=0或x-7y+19=0