Question

单调有界定理的“变形”的正确性单调有界定理：若数列递增（递减）有上界（下界）,则数列收敛,即单调有界数列必有极限.我想问

Answer 1

这个命题是正确的.

实际上任意收敛数列都是有界的(上界下界都存在).

设lim{n → ∞} a[n] = b,由极限的定义,

对ε = 1 > 0,存在N,使得n > N时|a[n]-b| < ε = 1.

于是对n > N,有b-1 < a[n] < b+1.

然而n ≤ N只有有限项,可取x为其中最大数,取y为其中最小数.

则max{x,b+1}是数列的一个上界,

而min{y,b-1}是数列的一个下界.

即收敛数列都是有界数列.