Question

已知f（x）=ax+b的图象过点（1，e），其反函数为f-1（x）过点（1，0），若方程f（x）-kx=0无实根，则k的

Answer 1

解题思路：由已知列关于a，b的方程组求得a，b的值，得到f（x），利用导数求出该函数过远点的切线的斜率，则使方程f（x）-kx=0无实根的k的取值范围可求．

由f（x）=a^x+b的图象过点（1，e），得

a+b=e ①，

函数f（x）的反函数f^-1（x）过点（1，0），可得函数f（x）的图象过点（0，1），则

b=0，代入①得：a=e．

∴f（x）=e^x．

方程f（x）-kx=0无实根，即e^x=kx无实根，

由f（x）=e^x．得f′（x）=e^x，

设直线y=kx与f（x）=e^x的切点为（x0，ex0），

则f′(x0)=ex0，

∴过切点的切线方程为y-ex0=ex0（x-x₀），

代入原点坐标得x₀=1．

此时切点为（1，e），

∴k=e．

∴使方程e^x=kx无实根的k的范围是[0，e）．

故答案为：[0，e）．

点评：

本题考点： 反函数

考点点评： 本题考查了互为反函数的两函数图象间的关系，考查了利用导数求切线的方程，训练了函数零点的判断方法，是中档题．