给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+a - 知识问答

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列&

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解题思路：设公差为d，an+1=a，由S=an+1+an+2+…a2n+1=（n+1）a+n(n+1)2d得，a+nd2＝Sn+1，则有M≥410(Sn+1)2，下面由基本不等式的性质可解．
设公差为d，a_n+1=a，
则S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+
n(n+1)
2d．
同除以（n+1），得 a+
nd
2＝
S
n+1．
则M≥a12+an+12＝(α−nd)2+a2=
[4/10(a+
nd
2)2+
1
10(4a−3nd)2≥
4
10(
S
n+1)2
因此|S|≤
10
2]（n+1）
M，
且当 a=
3
10
M，d=
4
10•
1
n
M 时，
S=（n+1）〔
3
10
M+
n
2•
4
10•
1
n
M〕
=（n+1）
5
10
M=
10
2（n+1）
M
由于此时4a=3nd，故 a12+an+12＝
4
10(
S
n+1)2=[4/10•
10
4M＝M．
所以，S的最大值为
10
2]（n+1）
M．
点评：
本题考点：数列的求和．
考点点评：本题为数列和不等式的结合，正确变形时解决问题的关键，属中档题．

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