Question

数学双曲线问题P是双曲线 X的平方/16 减去 Y的平方除以9=1上的一点,F1和F2是焦点,若∠F1-P-F2=60°

Answer 1

你可以用余弦定理,但如果是填空题或选择题可以直接用公式,

双曲线焦点三角形面积公式为b^2*1/tan∠F1PF2/2=9*√3=9√3

推导过程如下：

设∠F₁PF₂=α,双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1

因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a

在焦点三角形中,由余弦定理得

F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα

=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)

=2b^2/(1-cosα)

三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα

=b^2·sinα/(1-cosα)

对于本题,a=60°,所以s=9√3