Question

如图1，△ABC为等边三角形，面积为1．D、E、F分别是△ABC三边上的点，且AD=BE=CF=[1/2]AB，连接DE

Answer 1

解题思路：由于无论怎么变化，△ADF、△CFE、△BDE都全等，因此△DEF是等边三角形，由于等边三角形都相似，因此△DEF∽△ABC；可根据余弦定理求出△DEF的边长，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△DEF的面积．

当AD=BE=CF=[1/n+1]AB时，BD=CE=AF=[n/n+1]AB，

∵∠A=∠B=∠C，

∴△ADF≌△CFE≌△BED，

∴DF=EF=DE，即△DEF是等边三角形，

∴△DEF∽△ABC，

在△BDE中，BD=[n/n+1]AB，BE=[1/n+1]AB，∠B=60°，

根据余弦定理可得：DE²=BE²+BD²-2BE•BD•cos60°，即DE²=

n2−n+1

(n+1)2AB²，

∴S_△DEF：S_△ABC=DE²：AB²=

n2−n+1

(n+1)2，

∵S_△ABC=1，

∴S_△DEF=S_n=

n2−n+1

(n+1)2，

当n=9时，S_△DEF=S₉=[73/100]．

点评：

本题考点： 等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质等知识．综合性较强，难度较大．