图形的全等 -------------------------------------------------------------------------------- 一、一周知识概述 了解全等形、全等三角形的概念及表示方法,掌握寻找全等三角形中的对应元素的基本方法,初步会用全等三角形的性质进行一些边角的简单的计算． 1．全等三角形的定义及有关概念和性质． (1)全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．形状相同但不能完全重合的两个三角形不是全等三角形.(2)全等三角形对应元素及性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等． (3）将两个全等三角形中的一个三角形平移、翻折、旋转可得到另一个三角形． 2．全等三角形的符号表示及读法和写法． 全等三角形用符号“≌”表示,表示全等,读作“全等于”,注意对应顶点写在对应位置上．将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换,可写出所有对应边和对应角相等的式子,而不会找错,并节省观察图形的时间． 如图,∵△ABC≌△DFE,(已知) ∴AB=DF,AC=DE,BC=FE,(全等三角形的对应边相等) ∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E．(全等三角形的对应角相等) 二、重点和难点 重点：全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等,对应角相等． 难点：寻找全等三角形的对应元素 常用的寻找全等三角形对应元素的方法． 已知如图中的(a),△ABC≌△DEF,则对应边和对应角相等.AB=DE,AC=DF,BC=EF．∠A=∠EDF,∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.有公共边的,公共边一定是对应边,如图中的(b),(e),(g)；有公共角的,公共角一定是对应角,如图中的(f)． 有对顶角的,对顶角一定是对应角,如图中的(d),(f),(g)． 练习1：已知如图中的(c),△ABC≌ADE,AB=AD,∠1=∠2,AC=AE．写出其余对应元素相等的式子． 练习2：已知：如图中的(h),△AEB≌△DFC,∠1=∠2,BE=CF,∠B=∠C,写出其余对应元素相等的式子． 找对应边、对应角通常有以下几种方法． （1）全等三角形对应相等的角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边． （2）全等三角形对应相等的边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角． （3）两个全等三角形有公共边的,公共边一定是对应边． （4）两个全等三角形有公共角的,公共角一定是对应角． （5）两个全等三角形有对顶角的,对顶角一定是对应角． （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角）,一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）． 如图,复杂的几何图形,实际上常常可以看作简单图形的组合,我们要把简单图形从复杂图形中分离出来,确定对应的概念,加深对概念的理解,把复杂的几何问题转化成简单问题,这就是数学中的转化思想的体现.三、典型例题分析 例1、几何中,我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”,以下是描述全等形的三种不同的说法,你认为哪种说法是恰当的?（l）形状相同的两个图形叫全等形.（2）大小相等的两个图形叫全等形.（3）能够完全重合的两个图形叫全等形.答：全等形要满足两个基本条件：两个图形的形状完全相同和大小完全相同,所以（3）正确.例2、如图,已知CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,△ABE≌△ACD,∠C= 20°,AB=10,AD= 4,G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长． 分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE；△CEF≌△BDF,△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG． (2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识,求得∠EBG等于160°． (3)利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得：CE=CA－AE=BA－AD=6． 点评：全等形中对应的局部相等,所以全等三角形的对应角和对应边分别相等．要证角相等或线段相等,只需它们分别是全等三角形的对应角或对应边,判断全等三角形角的对应关系的关键是判定三角形顶点的对应关系．这是今后证明类似问题的重要思路． 寻找全等三角形的对应关系,首先要根据已知的相等关系（或对应关系）确定对应顶点． 通过观察图形,可以把其中一个图形经过平移、旋转、翻折后和另一个图形重合．于是又可以由观察直接判断对应关系．上面例子左图可由先旋转再平移而重合,右图可由先平移再翻折而重合． 直角三角形全等的条件：一直角边的角平分线交汇另一直角边形成一个小直角三角形,在这对小的直角三角形中,一直角边和斜边相等,所以这小的直角三角形全等(斜边直角边定理),所以被平分的角也相等.被平分的角相等,同样这平分的大角也相等,这样在两个大直角三角形中,一直角边相等,一对应的角又相等,那么这两个大直角三角形也同样全等.斜边与其中一条直角边对应相等,称为“斜边、直角边”,简写为HL.这样的直角三角形也全等.