Question

（2013?闸北区三模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A（a，4）为抛物线C上的定点，点P为抛物线

Answer 1

（1）△FOA的外接圆的圆心在线段OF的中垂线y＝

p

4上，则圆心的纵坐标为[p/4]

故到准线的距离为[p/2+

p

4＝

3

2]

从而p=2…（2分）

即抛物线C的方程为：x²=4y．…（4分）

（2）设P（x₀，y₀），则

∵圆心坐标（0，1）是抛物线C的焦点F

∴|PF|=y₀+1…（6分）

SPMFN＝2S△PMF＝2?

1

2?|PM|?|MF|＝

1

2|PM|＝

1

2

|PF|2?

1

4=

1

2

(y0+1)2?

1

4(y0≥0)…（8分）

∴当y₀=0时，四边形PMFN面积的最小值为

3

4，此时点P（0，0）．…（10分）

（3）（理）根据题意：∠TPF为锐角?

PT?

PF＞0且t≠[p/2]

∵

PT=（-x₀，t-y₀），

PF=（-x₀，1-y₀），

∴

PT?

PF=y₀²-（t-3）y₀+t…（11分）

记：f（y₀）=y₀²-（t-3）y₀+t在y₀∈[0，+∞）上恒成立

又f（y₀）=（y₀-[t?3/2]）²-

t2?10t+9

4．

当[t?3/2]≥0时，即：t∈[3，+∞）

当y₀=[t?3/2]时，f（y₀）_min=-

t2?10t+9

4＞0解得：1＜t＜9，

∴t∈[3，9]；

当[t?3/2]＜0时，即：t∈（-∞，3）当y₀=0时，f（y₀）_min=t＞0，

∴t∈（0，3）…（15分）

综合得：t∈（0，1）∪（1，9）（16分）