Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点F,经过F作倾角为135°的直线l交椭圆于A,B两点,线段A,B的中点

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2), M(x0,y0)

x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2,

直线斜率k=tan135°=-1,

(y1-y2)/(x1-x2)=-1,

代入椭圆方程,x1^2/a^2+y1^2/b^2=1,(1),

x2^2/a^2+y2^2/b^2=1,(2),

(1)-(2)式,

b^2/a^2+[(y1-y2)/(x1-x2)]*[y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=0,

b^2/a^2-1*y0/x0=0,

y0/x0=b^2/a^2,(3)

在三角形MOF中,外角〈AMO=θ,tanθ=3,

设

α=θ-45°,

tanα=(tanθ-tan45°)/(1+tanθ*tan45°)=(3-1)/(1+1*3)=1/2,

tanα=y0/x0=1/2,

由（3）式,b^2/a^2/=1/2,

b/a=√2/2,

b=a√2/2

c=√（a^2-b^2)=a√2/2,

∴离心率e=c/a=√2/2.