费马点证明

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  • (1)费马点对边的张角为120度.

    △CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

    △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B

    同理可得∠CBP=∠CA1P

    由∠PA1B+∠CA1P=60度,

    得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度

    同理,∠APB=120度,∠APC=120度

    (2)PA+PB+PC=AA1

    将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,

    连结PD,则△PDB为等边三角形,

    所以∠BPD=60度

    又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,

    又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,

    所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1.

    (3)PA+PB+PC最短

    在△ABC内任意取一点M(不与点P重合),

    连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,

    连结AM、GM、A1G(同上),则AA1