Question

给出下列命题：①对于实数u，v，定义一种运算“*“为：u*v=uv+v．若关于x的方程x*（a*x）=-[1/4]没有实

Answer 1

解题思路：①根据新定义整理出一元二次方程，然后根据判别式△＜0，方程没有实数根列式得到关于a的不等式，求解不等式即可判断；

②求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据直角三角形的面积公式列式得到S_k的表达式，然后利用拆项法整理求解；

③先配方，再根据二次函数的最值问题求解；

④求出每一名同学的可能选修方法的种数，然后相乘即可得解．

①根据新定义，x*（a*x）=x*（ax+x），

=x（ax+x）+（ax+x），

=（a+1）x²+（a+1）x，

所以，（a+1）x²+（a+1）x+[1/4]=0，

∵方程没有实数根，

∴△=（a+1）²-4（a+1）×[1/4]＜0，

即a（a+1）＜0，

解得-1＜a＜0，故本小题错误；

②当y=0时，kx-1=0，解得x=[1/k]，

当x=0时，（k+1）y-1=0，解得y=[1/k+1]，

所以，与x轴的交点坐标为（[1/k]，0），与y轴的交点坐标为（0，[1/k+1]），

∵k为正整数，

∴S_k=[1/2]×[1/k]×[1/k+1]=[1/2][1

k(k+1)=

1/2]（[1/k]-[1/k+1]），

∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈=[1/2]（1-[1/2]+[1/2]-[1/3]+[1/3]-[1/4]+…+[1/2008]-[1/2009]），

=[1/2]（1-[1/2009]），

=[1/2]×[2008/2009]，

=[1004/2009]，故本小题正确；

③∵y=-[1

x2+

3/x]=-（[1

x2-

3/x]+[9/4]）+[9/4]=-（[1/x]-[3/2]）²+[9/4]，

∴当[1/x]=[3/2]，即x=[2/3]时，函数有最大值[9/4]，故本小题错误；

④设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，

同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，

所以，不同的选修方案共有6×4×4=96种，故本小题错误；

综上所述，真命题有②共1个．

故选A．

点评：

本题考点： 二次函数的最值；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征．

考点点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题，排列组合，综合性较强，难度较大，对同学们的能力要求比较高．