Question

关于上确界证明的一个疑问上确界存在的条件是 （假设上确界为h）对于任何E>0,存在一个x (x在集合内),则x>h-E难

Answer 1

1．假设supX＞supY,则存在x0∈X,使得x0＞supY.从而对任意y∈Y,都有x0＞y,与已知矛盾,故supX≤supY2．由已知,Y中任意一个数y都是X的上界,X中任意一个数都是Y的下界,故由确界原理,X有上确界,Y有下确界.对任意y∈Y,y是X的一个上界,由上确界定义,可知supX≤y.该式又表明supX是Y的一个下界,故由下确界定义得supX≤infY．3．对任意x∈X,有x≤supX,所以ax≤asupX,故asupX是aX的一个上界.任给正数ε,存在x0∈X,使得x0＞supX－ε＆＃47；a,所以ax0＞asupX－ε,故asupX是aX的上确界.类似的可证ainfX是aX的下确界.4．因为A是B的子集,所以对任意x∈A,都有x∈B,故supA≤supB,类似的可证infA≥infB5．对任意x∈X,都有x≤supX；同样对任意y∈Y,都有y≤supY,所以x＋y≤supX＋supY,即supX＋supY是Z的一个上界.任给正数ε,存在x0∈X,使得x0＞supX－ε＆＃47；2；同理存在y0∈Y,使得y0＞supY－ε＆＃47；2,从而x0＋y0＞supX＋supY－ε.故supX＋supY是Z的上确界.类似的可证明infX＋infY是Z的下确界6．对任意x∈X,都有x≤supX；同样对任意y∈Y,都有y≤supY,所以xy≤supXsupY,即supXsupY是Z的一个上界；任给正数ε存在x0∈X,使得x0＞supX－ε；同理存在y0∈Y,使得y0＞supY－ε.所以x0y0＞（supX－ε）（supY－ε）,故upXsupY是Z的上确界.类似的可证infXinfY是Z的下确界.