Question

已知整数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k,求证：aB+bC+cA

Answer 1

2aB+2bC+2cA≤(a^2+B^2)/2+(b^2+C^2)/2+(c^2+A^2)/2（等号当且仅当a=b=c=A=B=C时成立）

=(a^2+A^2)/2+(b^2+B^2)/2+(c^2+C^2)/2＜(a+A)^2/2+(b+B)^2/2+(c+C)^2/2=3k^2/2＜4k^2/2=2k^2

∴2（aB+bC+cA）＜2k^2 ∴aB+bC+cA＜k^2