如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接O

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  • 解题思路:(1)根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件;

    (2)根据(1)得到BQ=PC,然后连接OB,根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件,然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题.

    证明:∵四边形ABCD是正方形,

    ∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,(2分)

    ∴∠2+∠3=90°,

    又∵DP⊥CQ,

    ∴∠2+∠1=90°,

    ∴∠1=∠3,(4分)

    在△BCQ和△CDP中,

    ∠B=∠PCD

    BC=CD

    ∠1=∠3.

    ∴△BCQ≌△CDP.(5分)

    (2)连接OB.

    (6分)

    由(1):△BCQ≌△CDP可知:BQ=PC,(7分)

    ∵四边形ABCD是正方形,

    ∴∠ABC=90°,AB=BC,

    而点O是AC中点,

    ∴BO=

    1

    2AC=CO,∠4=

    1

    2∠ABC=45°=∠PCO,(9分)

    在△BOQ和△CDP中,

    BQ=CP

    ∠4=∠PCO

    BO=CO.

    ∴△BOQ≌△COP,

    ∴OQ=OP.(10分)

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,利用它们构造证明全等三角形的条件,然后通过全等三角形的性质解决问题.