解题思路：（1）由已知可得，AB=BC=CD=AD=1，CE=x，由图形得出y=SABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF，便可求出x与y的关系式．
（2）当△AEF和△ECF相似时，有两种情况：
①∠AEF=90°，△AEF∽△ECF；②∠AFE=90°，△AEF∽△FCE；
以①为例，若∠AEF=90°，可得到两组相似三角形：△AEF∽△ECF、△ECF∽△ABE，根据两个相似三角形所得比例线段，即可证得CE=BE（以[EF/CF]为中间量），由此可求得CE的长；
②的思路与①相同．
（3）此题应分作两种情况考虑：
一、当F在线段DC上时，可分两种情况：
①AE=EG，根据等腰三角形三线合一的性质知：AB=BG=1，易证得△FCE∽△BEG，根据CE的长，易得CE：BE=1：3，即BG=3CF，由此可求出CF的长；
②AE=AG，由于BE=[3/4]，AB=1，由勾股定理可求得AE=AG=[5/4]，即BG=[1/4]，然后按照①的方法即可求得CF的长；
二、当F在线段DC的延长线上时，可分两种情况：
①EG=AG，由①知BG=3CF，那么EG=AG=AB-BG=1-3CF，可用CF表示出BG、EG的长，然后在Rt△BGE中，利用勾股定理求出CF的值；
②AE=AG，方法与②相同，将①题的“AB=BG=1”换成“BG=AB+AG=1+[5/4]”即可．
（1）在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，（2分）
∴BE=DF=1-x，
∴y=SABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF，（1分）
∴y＝12−
1
2•1•(1−x)−
1
2•1•(1−x)−
1
2x2，
∴y＝−
1
2x2+x（0＜x＜1）．（2分）
（2）①若∠AEF=90°，∵△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC=∠EAB，∴△ECF∽△ABE，
∴[AE/EC＝
EF
CF]，[EF/CF＝
AE
BE]，
∴[AE/EC＝
AE
BE]，∴CE＝BE＝
1
2；（3分）
②当∠AFE=90°，同理可得CF＝FD＝
1
2，
∵[CE/CF＝
FD
AD]，∴CE＝
1
4．（2分）
（3）①当AE=GE时，得：AB=BG=1，
∵[CF/BG＝
CE
BE]，CE＝
1
4，
∴[CF/1＝
1
3]，∴CF=[1/3]；（1分）
②当AE=AG时，∵CE＝
1
4，∴AG＝AE＝
5
4，
∵[CF/BG＝
CE
BE]，∴[CF
5/4−1＝
1
3]，∴CF=[1/12]；（1分）
③当AG=EG时，∵CE＝
1
4，∴BG=3CF，EG2=BE2+GB2，
∴(1−3CF)2＝(
3
4)2+(3CF)2，∴CF=[7/96]；（1分）
④当AG=AE时，∵CE＝
1
4，∴AG＝AE＝
5
4，
∵[CF/BG＝
CE
BE]，∴[CF
5/4+1＝
1
3]，
∴CF=[3/4]．（1分）
点评：
本题考点： 相似三角形的判定；直角三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质．
考点点评： 此题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定，难点在于需要分类讨论的情况较多，易造成漏解的状况．