Question

设数列{an}的各项均为正实数，bn=log2an，若数列{bn}满足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p为正常

Answer 1

解题思路：（1）由b_n+1=b_n+log₂p，得b_n+1-b_n=log₂p，从而可判断{b_n}是以log₂p为公差的等差数列，可求得b_n，再根据b_n=log₂a_n可求得a_n；

（2）根据

a

n

＝

p

n−2

及幂的运算法则可化简不等式a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₁₆，得

p

n(3n−5)

2

＞p¹⁴（*），然后按照0＜p＜1及p＞1两种情况讨论可解得不等式（*），从而可得结果；

（3）p=2时由（1）得b_n=n-2，从而得c₁（n-2）+c₂（n-3）+c₃（n-4）+…+c_n（-1）=-2n①，则c₁（n-1）+c₂（n-2）+c₃（n-3）+…+c_n+1（-1）=-2（n+1）②，由②-①，得c₁+c₂+c₃+…+c_n-c_n+1=-2③，

进而可得c₁+c₂+…+c_n+c_n+1-c_n+2=-2④，然后用④-③得2c_n+1=c_n+2，由此可判断{c_n}一定是等比数列，进而可求得答案；

（1）∵b_n+1=b_n+log₂p，∴b_n+1-b_n=log₂p，

∴{b_n}是以log₂p为公差的等差数列，

又b₂=0，∴b_n=b₂+（n-2）log₂p=log2pn−2，

故由b_n=log₂a_n，得an＝2bn=2log2pn−2=p^n-2；

（2）∵an＝pn−2，∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=p^-1•p²•p⁵…p^3n-4

=p^{-1+2+5+…+（3n-4）}=p

n(3n−5)

2，

又a16＝p14，∴p

n(3n−5)

2＞p¹⁴，

（i）当0＜p＜1时，

n(3n−5)

2＜14，解得-[7/3]＜n＜4，不符合题意；

（ii）当p＞1时，

n(3n−5)

2＞14，解得n＞4或n＜-[7/3]，

综上所述，当p＞1时，存在正整数M使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₁₆恒成立，且M的最小值为4；

（3）∵p=2，由（1）得b_n=n-2，

∴c₁（n-2）+c₂（n-3）+c₃（n-4）+…+c_n（-1）=-2n①，

则c₁（n-1）+c₂（n-2）+c₃（n-3）+…+c_n+1（-1）=-2（n+1）②，

由②-①，得c₁+c₂+c₃+…+c_n-c_n+1=-2③，

∴c₁+c₂+…+c_n+c_n+1-c_n+2=-2④，

再由④-③，得2c_n+1=c_n+2，即

cn+2

cn+1＝2(n∈N*)，

∴数列{c_n}一定是等比数列，且公比为2，c₁=2，∴cn＝2n．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的函数特性；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查由数列递推式求数列通项、数列的函数特性及等比关系的确定，分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强，难度较大．