Question

设数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若数列{an}中任意不同两项之和仍是该数列中的一

Answer 1

（本小题满分16分）

解 （1）由题意，a_n=2n+2，对于任意m，n有a_m+a_n=2（m+n+1）+2，因m+n+1∈N^*，

于是令P=m+n+1，则有a_p=2p+2∈{a_n}，

所以数列{a_n}为“F数列”．------------（4分）

（2）假设存在数列{a_n}满足条件，即10a₁+45d≤70，则a₁和d的可能值

①d=0，a₁=0，1，2，3，4，5，6，7，此时a_n=0是“F数列”

②d=1，a₁=0，1，2此时a_n=n-1，a_n=n，a_n=n+1均为“F数列

所以满足条件的数列通项公式为a_n=0，a_n=n-1，a_n=n，a_n=n+1-----------------（8分）

（3）结论：数列{a_n}为“F数列”的充要条件是存在整数m≥-1使a₁=md------（10分）

证明：ⅰ） 充分性 若存在整数m≥-1使a₁=md，则任取等差数列的两项a_s，a_t（s≠t）

因s+t≥3，m≥-1所以s+t+m-1为≥1的正整数，

于是a_s+a_t=a₁+（s-1）d+md+（t-1）d=a₁+（s+t+m-2）d=a_m+s+t-1∈{a_n}-------（12分）

ⅱ） 必要性任取等差数列的两项a_s，a_t（s≠t），若存在a_k使得a_s+a_t=a_k

则2a₁+（s+t-2）d=a₁+（k-1）d，于是a₁=（k-s-t+1）d，故存在m=k-s-t+1∈Z

使a₁=md，下面证明m≥-1．

当d=0，显然成立

当d≠0，若m＜-1，则取p=-m≥-2，对不同的两项a₁，a_p，存在a_q使a₁+a_p=a_q．

即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d，可得qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾

故存在整数m≥-1使a₁=md-----------------------------------------（16分）