Question

正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为一沿平面AB1D1截得一个四面体A1AB1D1 的内部有一个球,则该球的最大体积

Answer 1

四面体为底是√2的正三角形,侧棱为1的正四棱锥,

体积为：（1*1/2）*1/3=1/6,

底面正三角形面积S=√3（√2）^2/4=√3/2,

设相应底面AB1D1的高为h,

h*√3/2/3=1/6,

h=√3/3,

底面A1AB1面积为：1*1/2=1/2,

设内切球半径为R,球心O,连结OA1、OA、OB1、OD1,共分成4个小棱锥,内切球半径为其高,

其中有三个棱锥体积总计为：（1/2*R/3）*3=R/2,

棱锥VO-AB1D1=（R√3/2）/3=√3R/6,

R/2+√3R/6=1/6

R=（3-√3）/6,

∴V球=4πR^3/3=π(9-5√3）/27,

应选B.

因为是内切球时,球的体积最大.