(2011•海淀区二模)已知函数f(x)=sinxx

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  • 解题思路:(1)对于①,考察证明f(-x)与f(x)的关系得证;对于②针对函数

    f(x)=

    sinx

    x]的性质,只须考虑当0<x<[π/2]时的函数值即可,再利用单位圆中的三角函数线,通过面积关系证明sinx<x.对于③,利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式,求出函数的导数,然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论.

    (2)分别令n=1,2,3,4,5,…,9.求出

    f(

    6

    ),f(

    6

    +

    π

    6

    )

    函数值,再比较大小即可得出答案.

    (1)证明:函数f(x)=

    sinx

    x的定义域为x≠0,

    当x≠0时,f(−x)=

    sin(−x)

    −x=[−sinx/−x=

    sinx

    x]=f(x),

    ∴f(x)是偶函数;①正确;

    对于②,针对函数f(x)=

    sinx

    x的性质,只须考虑当0<x<[π/2]时的函数值即可,

    如图,在单位圆中,有sinx=MA,

    连接AN,则S△OAN<S扇形OAN

    AN的长为l,则x=

    l

    r=l,

    ∴[1/2ON•MA<

    1

    2ON•x,即MA<x,

    又sinx=MA,

    ∴sinx<x,∴f(x)=

    sinx

    x<1,②正确;

    f′(x)=

    (sinx)′x−sinx•x′

    x2]=[xcosx−sinx

    x2

    xcosx−sinx

    x2=0得xcosx-sinx=0,

    即tanx=x,但当x=

    3/2π时,不满足tanx=x,

    故当x=

    3

    2π时,f(x)取不到极小值,故③错.

    故答案为:①②.

    (2)当n=1时,

    6=

    π

    6],[nπ/6+

    π

    6=

    π

    3],不满足f(

    6)<f(

    6+

    π

    6);

    当n=2时,[nπ/6=

    π

    3],[nπ/6+

    π

    6=

    π

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的极值、函数单调性、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.

    1年前

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