解题思路:(1)对于①,考察证明f(-x)与f(x)的关系得证;对于②针对函数
f(x)=
sinx
x]的性质,只须考虑当0<x<[π/2]时的函数值即可,再利用单位圆中的三角函数线,通过面积关系证明sinx<x.对于③,利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式,求出函数的导数,然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论.
(2)分别令n=1,2,3,4,5,…,9.求出
f(
nπ
6
),f(
nπ
6
+
π
6
)
函数值,再比较大小即可得出答案.
(1)证明:函数f(x)=
sinx
x的定义域为x≠0,
当x≠0时,f(−x)=
sin(−x)
−x=[−sinx/−x=
sinx
x]=f(x),
∴f(x)是偶函数;①正确;
对于②,针对函数f(x)=
sinx
x的性质,只须考虑当0<x<[π/2]时的函数值即可,
如图,在单位圆中,有sinx=MA,
连接AN,则S△OAN<S扇形OAN,
设
AN的长为l,则x=
l
r=l,
∴[1/2ON•MA<
1
2ON•x,即MA<x,
又sinx=MA,
∴sinx<x,∴f(x)=
sinx
x<1,②正确;
f′(x)=
(sinx)′x−sinx•x′
x2]=[xcosx−sinx
x2
令
xcosx−sinx
x2=0得xcosx-sinx=0,
即tanx=x,但当x=
3/2π时,不满足tanx=x,
故当x=
3
2π时,f(x)取不到极小值,故③错.
故答案为:①②.
(2)当n=1时,
nπ
6=
π
6],[nπ/6+
π
6=
π
3],不满足f(
nπ
6)<f(
nπ
6+
π
6);
当n=2时,[nπ/6=
π
3],[nπ/6+
π
6=
π
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的极值、函数单调性、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.
1年前
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