Question

已知抛物线的焦点F,过焦点的直线交抛物线于P,Q, PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R,求证:FR=1/2PQ

Answer 1

不妨设抛物线为y^2 = 2px ,PQ的中垂线交PQ于G,F为焦点,X轴为对称轴.

化成极坐标为：ρ = p/(1-cosθ) ,其中θ≠π/2

不失一般性

因为PQ= p/(1-cosθ) + p/(1+cosθ) = 2p/(sinθ)^2

所以FG=1/2 PQ -FQ=p/(sinθ)^2 - p/(1+cosθ) = pcosθ/(sinθ)^2

在RTΔFGR中,FR = FG/cosθ = p/(sinθ)^2

所以PQ = 2 FR