解题思路:(1)①根据两点间的距离公式可以求得OB的长度;
②如图1,过点B作BN⊥OA于点H,则由三角函数的定义进行解答;
③如图1,连接PC,欲证CD是⊙P的切线,只需证明PC⊥CD即可;
(2)如图2,过B作BN⊥x轴于点N,设圆P的半径为r.根据切线的性质知PE⊥OE,所以在Rt△OPE和Rt△OBN中,利用∠BON的正弦函数的定义列出关于r的比例式
r/10−r]=[4/5],由此可以求得r的值;
(3)如图3,由正方形PCDE的四条边相等知DE=DC=r,则BD=OB-OE-DE.然后将其代入相似三角形(△BDF∽△PCF)的对应边成比例的比例式[BD/PC]=[DF/CF]中,从而求得CF的值.
(1)①∵B(6,8),
∴OB=
62+82=10.
故填:10;
②如图1,过点B作BH⊥OA于点H.则BH=8.故sin∠BOA=[BN/OB]=[8/10]=0.8.
故填:0.8;
③证明:如图1,连接PC.
∵PC=PA(⊙P的半径),
∴∠1=∠2(等边对等角).
∵A(10,0),由①知OB=10,
∴OA=OB=10,
∴∠OBA=∠1(等边对等角),
∴∠OBA=∠2(等量代换),
∴PC∥OB(同位角相等,两直线平行).
∵CD⊥OB,
∴CD⊥PC,
∴CD为⊙P的切线;
(2)如图2,过B作BN⊥x轴于点N,设圆P的半径为r.
∵⊙P与OB相切于点E,则OB⊥PE,OA=10,
∴在Rt△OPE中,sin∠EOP=[PE/OP]=[r/10−r],
在Rt△OBN中,sin∠BON=[BN/OB]=[8/10]=[4/5],
则[r/10−r]=[4/5],
解得:r=[40/9];
(3)如图3,∵由(2)知r=[40/9],
∴在Rt△OPE中,OE=
OP2−PE2=[10/3](勾股定理),
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°,
∴四边形PCDE是矩形.
又∵PE=PC(⊙O的半径),
∴矩形PCDE是正方形,
∴DE=DC=r=[40/9],
∴BD=OB-OE-DE=10-[10/3]-[40/9]=[20/9].
∵∠BFD=∠PFC,∠PEO=∠PCF=90°,
∴△BDF∽△PCF,
∴[BD
点评:
本题考点: 圆的综合题.
考点点评: 本题考查了圆的综合题.解题时,注意“数形结合”数学思想的应用.在证明(3)时,巧妙的运用了旋转的性质,切线的性质求得EG的长度.
1年前
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