中心在原点、一个焦点为F1(0,5根号2)的椭圆被直线y=3x–2截的弦的中点的横坐标为1/2,求椭圆方程

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  • 焦点为F1(0,5√2)

    在y轴上

    c=5√2

    a^2-b^2=50

    弦的中点的横坐标为1/2,代入y=3x–2,

    y=-1/2

    中点(1/2,-1/2)

    设直线与椭圆的交点是A(x1,y1),B(x2,y2)

    椭圆方程是y^2/a^2+x^2/b^2=1

    ∴y1^2/a^2+x1^2/b^2=1

    y2^2/a^2+x2^2/b^2=1

    上式-下式得

    (y1+y2)(y1-y2)/a^2+(x1+x2)(x1-x2)/b^2=0①

    ∵(y1-y2)/(x1-x2)=3.直线斜率

    (x1+x2)/2=1/2

    (y1+y2)/2=-1/2.中点坐标公式代入①式

    a^2=3b^2

    结合a^2-b^2=50

    得a^2=75,b^2=25

    ∴椭圆方程:y^2/75+x^2/25=1

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