Question

问题补充：三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形，AB=AC=1，∠BAC=θ，侧棱PA=PB=PC=2，求：（1）三棱锥P

Answer 1

三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形，AB=AC=1，∠BAC=θ，侧棱PA=PB=PC=2，求：（1）三棱锥P-ABC的体积（用θ来表示） （2）当θ为何值时，三棱锥的体积V为最大？最大值是多少？ （3）当三棱锥的体积V最大时，BC的长是多少？

(1)解析：∵三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形，AB=AC=1，∠BAC=θ，侧棱PA=PB=PC=2

在底面中：

S(底)＝1/2AB*AC*sinθ=1/2sinθ

由余弦定理得BC^2=2-2cosθ=2(1-cosθ)

过A作AD⊥BC交BC于D

BC边上的高AD=cos(θ/2)

在侧面PBC中：

连接PD，则PD⊥BC

BC边上的高PD^2=4-(BC/2)^2=4-2(1-cosθ)/4=(14+2cosθ)/4

在⊿PDA中

cos∠PAD=[4+( cos(θ/2))^2-PD^2]/(2*2* cos(θ/2))

=[4+ (1-cosθ)/2-(14+2cosθ)/4]/(2*2* cos(θ/2))

=(1-cosθ)/(2* (1-cosθ))=1/2

则棱锥的高h=PAsin∠PAD=2*√3/2=√3

∴三棱锥P-ABC的体积V=1/3*h* S(底)= √3/6* sinθ

(2)∵V= √3/6* sinθ

∴当θ＝90°时，三棱锥的体积V为最大为√3/6

(3)当三棱锥的体积V最大时，BC=√2(1-cosθ)= √2