解题思路：（1）分别将点（0，0），（2t，0）代入二次函数解析式，即可得出抛物线的解析式；
（2）寻找两个临界点，①刚开始的时候，②抛物线经过点A的时候，分别求出此时t的值，继而可得出t的取值范围；
（3）先确定函数解析式，然后得出直线MP的解析式，设出点E、F的坐标，则EF之间的距离可表示为二次函数的形式，然后运用配方法求最值即可．
（1）把x=0，y=0代入y=-x2+bx+c中，得c=0，
再把x=2t，y=0代入y=-x2+bx中，得b=2t
故抛物线的解析式为y=-x2+2tx．
（2）∵t＞0，
∴在点P和矩形ABCD开始运动时就经过矩形区域ABCD，
当抛物线经过点A时，将A（t+4，9）代入y=-x2+2tx中，得-（t+4）2+2t（t+4）=9，
整理，解方程得：t1=-5（舍去），t2=5，
即可得当t＞5时，抛物线不在经过矩形区域ABCD，
综上可得t的范围为：0＜t≤5，
（3）如图，当t=4秒时，此时点D和点P重合，抛物线的解析式为y=-x2+8x．
设直线MP的解析式为y=kx+b，
∵点M（4，16）和点P（8，0）在直线MP上，
∴
4k+b＝16
8k+b＝0，
得
k＝−4
b＝32，
∴直线MP的解析式为y=-4x+32；
设F（m，-4m+32），则E（m，-m2+8m），
∵点F在线段MP上运动，
∴4≤m≤8，
∴EF=-m2+8m-（-4m+32）=-m2+12m-32，
∴当m=-[b/2a]=6时，EF=
4ac−b2
4a＝
4×(−1)×(−32)−122
4×(−1)＝
16
4＝4，
∴线段EF的最大值是4．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，解答第二问的时候关键是求出两个边界点，第三问的解答中要求出直线MP的解析式，利用二次函数的最值法求解．