已知:在等边△ABC中,点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点,点G为直线BC上一动点,当点G在CB延长线上时,有结

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  • 证明:连接DE、EF、DF;

    (1)当点G在线段BE上时,如图①,

    在EF上截取EH使EH=BG,

    ∵D、E、F是等边△ABC三边中点,

    ∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=

    BD

    在△DBG和△DEH中,

    ∴△DBG≌△DEH,

    ∴DG=DH,

    ∴∠BDG=∠EDH,

    ∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°,

    ∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°,

    ∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形;

    (2)当点G在射线EC上时,如图②,在EF上截取EH使EH=BG,

    由(1)可证△DBG≌△DEH,

    ∴DG=DH,∠BDG=∠EDH,

    ∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°,

    ∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°,

    ∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形;

    (3)当点G在BC延长线上时,如图③,

    与(2)同理可证,结论成立;

    综上所述,点G在直线BC上的任意位置时,该结论成立。