证明:连接DE、EF、DF;
(1)当点G在线段BE上时,如图①,
在EF上截取EH使EH=BG,
∵D、E、F是等边△ABC三边中点,
∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=
BD
在△DBG和△DEH中,
,
∴△DBG≌△DEH,
∴DG=DH,
∴∠BDG=∠EDH,
∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°,
∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°,
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形;
(2)当点G在射线EC上时,如图②,在EF上截取EH使EH=BG,
由(1)可证△DBG≌△DEH,
∴DG=DH,∠BDG=∠EDH,
∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°,
∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°,
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形;
(3)当点G在BC延长线上时,如图③,
与(2)同理可证,结论成立;
综上所述,点G在直线BC上的任意位置时,该结论成立。