在平面直角坐标系中,A点的坐标为(0,4),C点的坐标为(10,0).

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  • 解题思路:(1)因为A点的坐标为(0,4),C点的坐标为(10,0),(5,4),直线AB∥OC,P在直线AB上,所以P的纵坐标为4,又因PO=PC,所以P在OC的垂直平分线上,所以P的横坐标为5,即P(5,4);

    (2)因为∠OPC=90°,所以P在以OC为直径的圆上,作PD⊥OC于D,因为P在过点A的直线y=-x+4上,所以可设P(x,-x+4),利用射影定理可得到PD2=OD•CD,即(-x+4)2=x(10-x),解之即可求出点P的坐标;

    (3)因为点P在直线y=kx+4上移动时,只存在一个点P使得∠OPC=90°,所以需分两种情况讨论:

    ①当直线过二、四象限时,B、C重合,直线过点(10,0),把该点的坐标代入解析式即可求出k的值;

    ②当直线过一、三象限时,此时直线与圆相切,设圆心为D,则DP=5,DP⊥BP,即∠P=∠AOB=90°,可求出k的值.

    (1)(5,4).

    (2)如图所示,

    PD⊥OC于D,设P(x,-x+4),

    PD2=OD•CD,(-x+4)2=x(10-x),

    解得:x=1或8,

    ∴P(1,3)或P(8,-4).

    (3)分两种情况:

    ①如图Ⅰ,

    则0=k×10+4,则k=−

    2

    5;

    ②如图Ⅱ,

    易证明△AOB∽△DPB,

    4

    5=

    x2+42

    −x+5,得x=−

    160

    9B(−

    160

    9,0),k=[9/40],

    ∴k=−

    2

    5或[9/40].

    点评:

    本题考点: 一次函数综合题.

    考点点评: 解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.