有理数的概念：有理数由整数和分数组成.
推论：任意一个有理数,都可以化成一个不可约分数,p/q,(p,q)=1,p,q∈Z[最大公约数为1,即互质,不可约].
其实挺简单的,若q是10的约数(2.5,10)的约数倍,即有(2,5,10)经过有限次乘运算能得到的,那么p/q是一个不循环小数,否则就是无限循环小数.
现在证明一下：
我先证明有理数的运算是封闭的,即有理数的加减乘除是有理数.
令两个有理数,a/b,(a,b)=1 p/q,(p,q)=1,a,b,p,q∈Z
a/b+p/q=(aq+bp)/bq这可能是一个可约分数,但一定可以表示成一个不可约分数,只要上下同时除以(aq+bo,bq),同理,它们的差(aq-bp)/bq,积ab/bq,商aq/bq可能是一个可约分数,但一定可以表示成一个不可约分数,所以,有理数的运算是封闭的.
然后证明你的命题：
1.把p分解质因数 q=2^n*5^m*x^y,x表示除2,5外的因数之积,若y=0,则p/q=10^(n+m)/10^(n+m)*2^n*5^m=1/10^(n+m)*2^m*5^n,是不循环小数
2.若y≠0,即q含有除2,5外的因数,那么假定p/q的余数是r,即p不能整除q,只要证明p*10^n也不能整除q,就能证明p/q不是不循环小数,而它又是一个分数,那么只能是无限循环小数,对与这个问题“证明p*10^n也不能整除q”,我用数学归纳法.
(1)当n=0时,余数是r,不能整除
(2)当n=k时,假定余数是s
(3)当n=k+1时,p*10^(k+1)/q=p^k/q*10,余数是10s,或者说和10s同余,但是10s显然不可能和0同余,因为q中含有除2,5外的因数,但无论s,10都不含有除2,5外的因数,所以10s不和0同余,仍然存在余数
(4)综上,无论经过多少次运算,仍然存在余数,所以它有限循环小数
至于是否是无限不循环小数,只要先把无理数化简,然后如果最简形式仍然存在无理数,那就是无限不循环小数.
我们还可以证明无限循环小数可以表示成分数形式,也即无限循环小数为分数.
再令ai=k/10^[(i-1)*n] S=lim(n→+∞)∑ai=a1*(1-q^i)/1-q=a1/1-q=a1/1-1/10^n,而a1=k 所以S=k/(1-1/10^n)=10^nk/(10^n-1)=a1a2a3...an/10^n-1,这可能是一个可约分数,但一定可以表示成一个不可约分数,所以,无限循环小数为分数（有理数）,而若一小数为S1=x.b1b2..bna1a2..ana1a2..an,即,不是从一开始就循环,那么不循环部,一定可以表示成b1b2b3...bn/10^n,一定是一个不可约分数,相加一定可表示成一个不可约分数,无限循环小数