Question

数论 关于最小公倍数求证：[a,b,c](a,b)(b,c)(c,a)=abc(a,b,c) 其中(a,b)为最大公约数

Answer 1

(a,b)(b,c)(c,a)

=(ab,ac,b²,bc)(c,a)

=(abc,a²b,ac²,a²c,b²c,b²a,bc²,abc,abc)

=(ab(c,a,b),ac(b,c,a),bc(a,b,c))

=(a,b,c)(ab,bc,ca)

只需证明:

abc=[a,b,c](ab,bc,ca)

因为:

abc

=[a,b](a,b)c

=[[a,b],c]([a,b],c)(a,b)

=[a,b,c]([a,b](a,b),c(a,b))

=[a,b,c](ab,bc,ca)