Question

以知Q是锐角 着sinQ>1/3且cosQ>1/3 是 sin2q>(4√2)/9的什么条件 ```必要条件吗?要详解`

Answer 1

0＜Q＜90°,由sinQ＞1/3,可得cosQ＜(2√2)/3；同理由coSQ＞1/3时,可得sinQ＜(2√2)/3,所以题中实际隐含的条件为：1/3＜sinQ＜(2√2)/3和1/3＜cosQ＜(2√2)/3,即1/9＜(sinQ)^2＜8/9①和1/9＜(cosQ)^2＜8/9②. (一)充分性证明：0＜Q＜90°,所以0＜2Q＜180°,所以sin2Q=√[1-(cos2Q)^2]=√｛1-[2(cosQ)^2-1]^2｝=√｛1-[1-2(sinQ)^2]^2｝,所以当(cosQ)^2或(sinQ)^2偏离1/2最远时sin2Q最小；由①、②可知,当(cosQ)^2=1/9或8/9、(sinQ)^2=1-(cosQ)^2=8/9或1/9时sin2Q最小,所以sin2Q＞√｛1-[2×(1/9)-1]^2｝=√｛1-[2×(8/9)-1]^2｝,即sin2Q＞(4√2)/9,充分性得证!(二)必要性证明：sin2Q＞(4√2)/9,2sinQcosQ＞(4√2)/9,sinQ√[1-(sinQ)^2]＞(2√2)/9,(sinQ)^2[1-(sinQ)^2]＞8/81,[(sinQ)^2-1/2]^2＜49/(4×81),|(sinQ)^2-1/2|＜7/18,-7/18＜(sinQ)^2-1/2＜7/18,1/9＜(sinQ)^2＜8/9,1/3＜sinQ＜(2√2)/3；同样可得1/3＜cosQ＜(2√2)/3；必要性得证.