Question

在三角形ABC中,已知AC=2,AB=1,且角A、B、C满足cos2A+2sin^2(B+C/2)=1.急

Answer 1

（Ⅰ）cos2A+2sin²[(B+C)/2]=1 → 1-2sin²A+2sin²[(B+C)/2]=1 → sinA=sin[(B+C)/2] → A=(B+C)/2；

∴ 3A=180° → A=60°；

由余弦定理：BC²=AC²+AB²-2AC*AB*cosA=2²+1²-2*2*1*cos60°=3,∴ BC=√3；△ABC为RT△；

（Ⅱ）由题意得：(x/sinA)+(y/sinC)=AC；

将 sinA=sin60°=√3/2、sinC=1/2 代入得：(2x/√3)+2y=2,即 y=1-x√3/3；

∴ xy=x*[1-(x√3/3)]=x-(x²√3/3)=-√3/3[x-(√3/2)]²+(3/4)；

xy 最大值：3/4（当 x=√3/2=BC/2,由RT△可得出：PA=PC,即P位于AC边的中点时）；