如图,已知点O为Rt△ABC斜边AB上一点,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点D,与AB相交于点E.

2个回答

  • 解题思路:(1)本小题有多种证法;

    方法1:作辅助线,连接OD;根据切线的性质知:OD⊥BC;由∠C=90°,可得:OD∥AC,∠1=∠2;再根据OA=OD,可得:∠2=∠3,从而得:∠1=∠3,故AD平分∠BAC;

    方法2:作辅助线,连接ED;由AE为⊙O的直径,可知:∠ADE=∠3+∠AED=90;由∠C=90°,得:∠1+∠ADC=90°;再根据∠AED=∠ADC,可得:∠1=∠3,故AD平分∠BAC;

    方法3,作辅助线,连接EF、DF;由AE为⊙O的直径,可知:∠AFE=90°;进而可证:EF∥BC,∠4=∠5;再根据∠4=∠3,∠1=∠5,从而可证:∠1=∠3,故AD平分∠BAC;

    (2)解法1,根据切割线定理,可将AB的长求出,再根据OD∥AC,得出关于OB、OA、BD、BC的比例关系式;由此可将⊙O的半径求出;

    解法2,作辅助线,过点O作OG⊥AC交AC于点G;根据OG∥BC,后同解法1.

    (1)判断:AD平分∠BAC.

    证明:

    证法一:连接OD;

    ∵BC切⊙O于D,

    ∴OD⊥BC,

    又△ABC为Rt△,且∠C=90°,

    ∴AC⊥BC,

    ∴OD∥AC,

    ∴∠1=∠2;

    又∵OA=OD,

    ∴∠3=∠2,

    ∴∠1=∠3.

    证法二:连接ED;

    ∵AE是⊙O直径,

    ∴∠ADE=90°,

    ∴∠3+∠AED=90°;

    又∵∠C=90°,

    ∴∠1+∠ADC=90°,

    又∵∠AED=∠ADC,

    ∴∠1=∠3.

    证法三:连接EF,DF;

    ∵AE是⊙O直径,

    ∴∠AFE=90°,

    又∵∠ACE=90°,

    ∴∠AFE=∠ACB,

    ∴EF∥BC,

    ∴∠4=∠5;

    又∵∠3=∠4,∠1=∠5,

    ∴∠1=∠3.

    (2)

    解法一:设BE=x,则BD=3BE=3x,

    据切割线定理得BD2=BE×BA,

    得AB=9x,OA=OE=4x;

    又∵OD∥AC,

    ∴[OB/OA=

    BD

    CD],即:[5x/4x=

    3x

    3],

    ∴x=[5/4],

    ∴⊙O的半径为5.

    解法二:

    如图,过O作OG⊥AC,又AC⊥BC,OD⊥BC,

    则四边形ODCG为矩形.

    ∴OG=CD=3,OG∥BC;

    又OG∥BC,

    ∴[OG/BC=

    OA

    AB],

    ∴[3/3x+3=

    4x

    9x],

    ∴x=[5/4],x=0,(舍去)

    ∴⊙O的半径为5.

    备注:本解法是在解法一得AB=9x,OA=OE=4x的基础上进行的.

    点评:

    本题考点: 切割线定理;圆周角定理;切线的性质.

    考点点评: 本题主要考查切线的性质及切割线定理,在解题过程中要运用相似三角形的判定等知识.