已知函数f(x)=4cosxsin(x+π6)−1

2个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数关系将f(x)=4cosxsin(x+[π/6])-1转化为f(x)=2sin(2x+[π/6]),即可求得f(x)的最小正周期;

    (Ⅱ)由f(x)=2sin(2x+[π/6]),x∈[-[π/6],[π/4]],利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值.

    (Ⅰ)∵f(x)=4cosxsin(x+[π/6])-1

    =4cosx(

    3

    2sinx+[1/2]cosx)-1

    =

    3sin2x+cos2x

    =2sin(2x+[π/6]),

    ∴f(x)的最小正周期T=[2π/2]=π;

    (Ⅱ)∵x∈[-[π/6],[π/4]],

    ∴2x+[π/6]∈[-[π/6],[2π/3]],

    ∴-[1/2]≤sin(2x+[π/6])≤1,

    -1≤2sin(2x+[π/6])≤2.

    ∴f(x)max=2,f(x)min=-1.

    点评:

    本题考点: 二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.

    考点点评: 本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式,考查正弦函数的单调性,求得f(x)的解析式是关键,属于中档题.