Question

已知数列{an}中a1=1,an*a(n+1)=2^n

Answer 1

(1)使用反证法,假设{an}是等比数列,则a(n+1)/an=c

又ana(n+1)=2^n

所以可得a(n+1)^2=2^nc,an^2=2^n/c

又a(n+1)^2=2^(n+1)/c

所以2^nc=2^(n+1)/c

c=√2

所以an=(√2)^(n-1),a(n+1)=(√2)^n

ana(n+1)=2^n/√2,矛盾

由a(n+1)a(n+2)=2^(n+1)可得a(n+2)/an=2

而a1a2=2,a2=2

所以当n为奇数时,an=an/a(n-2)*a(n-2)/a(n-4)*...*a3/a1*a1=2^[(n-1)/2]

n为偶数时,an=an/a(n-2)*a(n-2)/a(n-4)*...*a4/a2*a2=2^(n/2)

(2)当n为偶数时,采用分组求和的方法

奇数项为首项1公比2项数n/2的等比数列,其和为1*[1-2^(n/2)]/(1-2)=2^(n/2)-1

偶数项为首项2公比2项数n/2的等比数列,其和为2*[1-2^(n/2)]/(1-2)=2(2^(n/2)-1)

故Sn=3(2^(n/2)-1)

当n为奇数时,

奇数项为首项1公比2项数(n+1)/2的等比数列,其和为1*[1-2^((n+1)/2)]/(1-2)=2^((n+1)/2)-1

偶数项为首项2公比2项数(n-1)/2的等比数列,其和为2*[1-2^((n-1)/2)]/(1-2)=2^((n+1)/2)-2

故Sn=2^((n+3)/2)-3

或者这样,当n为奇数时,n-1为偶数,

Sn=S(n-1)+an=3[2^((n-1)/2)-1]+2^((n-1)/2)=2^((n+3)/2)-3