解题思路：我们把问题转换一下：求证a和b中有且仅有一个能被5整除，相当于证明a和b不可能都被5整除，也不可能都不被5整除，进一步根据一个数的平方被5除（不整除）会出现两种情况：余数为1或-1来解决问题．
由于b2-24a2=1，显然a和b不可能都被5整除．下面证明a和b不可能都不被5整除．
若a和b都不能被5整除，则a2和b2为5k±1型．
若a2和b2之一为5k+1型，另一为5k-1型，则a2+b2
能被5整除．由24a2+1=b2，得25a2+1=a2+b2．然而，25a2+1不能被5整除，所以a2和b2不可能一个为5k+1型，另一个为5k-1型．
若a2和b2同为5k+1型或同为5k-1型，则a2-b2能被5整除，而a2-b2=-（23a2+1）．考察23a2+1的个位数：
由上表可看出23a2+1的个位数没有0或5，因此，23a2+1不能被5整除，从而a2-b2不能被5整除．所以，a2和b2不可能同为5k+1或同为5k-1型．
于是a和b有一个且仅有一个能被5整除．
点评：
本题考点： 数的整除特征．
考点点评： 此题考查被一个数整除数的特征，注意掌握一个数的平方被5除（不整除）会出现两种情况：余数为1或-1．