Question

已知数列{an}前n项和An=-[1/2]n2+kn（其中k∈N+），且An的最大值为8；数列{bn}的前n项和Bn=[

Answer 1

解题思路：（1）当n=k时A_n取得最大值为

1

2

k

2

=8，解得k=4；当n≥2时，a_n=A_n-A_n-1，即可求a_n；

（2）利用错位相减法求和．

（1）∵数列{a_n}前n项和A_n=-[1/2]n²+kn（其中k∈N₊），且A_n的最大值为8，

又k∈N^*，所以当n=k时A_n取得最大值为[1/2k2=8，解得k=4，

当n≥2时，a_n=A_n-A_n-1=（-

1

2]n²+4n）-[-[1/2]（n-1）²+4（n-1）]=-n+[9/2]，

当n=1时，a₁=[7/2]，适合上式，

综上，a_n=-n+[9/2]；

（2）b₁=1．

n＞1时，b_n=B_n-B_n-1=[n+2/3]b_n-[n+1/3]b_n，即b_n=[n+1/n-1]b_n-1，

利用叠乘法可得b_n=

n(n+1)

2，

∴

bn

(9-2an)4n=[n+1

4n+1，

∴S_n=

2

42+

3

43+…+

n+1

4n+1，

∴4S_n=

2/4]+[3

42+…+

n+1

4n，

两式相减，整理可得S_n=

7/36]-[3n+7/36•

1

4n]．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．