请阅读下列材料:问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,

4个回答

  • 解题思路:(1)根据题意可知小聪的思路为,通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件;

    (2)思路同上,延长GP交AD于点H,连接CH,CG,本题中除了如(1)中证明△GFP≌△HDP(得到P是HG中点)外还需证明△HDC≌△GBC(得出三角形CHG是等腰三角形).

    (3)∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),那么∠PCG=90°-α,由(1)可知:PG:PC=tan(90°-α).

    (1)∵CD∥GF,∠PDH=∠PFG,∠DHP=∠PGF,DP=PF,

    ∴△DPH≌△FGP,

    ∴PH=PG,DH=GF,

    ∵CD=BC,GF=GB=DH,

    ∴CH=CG,

    ∴CP⊥HG,∠ABC=60°,

    ∴∠DCG=120°,

    ∴∠PCG=60°,

    ∴PG:PC=tan60°=

    3,

    ∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC,[PG/PC]=

    3;

    (2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.

    证明:如图2,延长GP交AD于点H,连接CH,

    ∵P是线段DF的中点,

    ∴FP=DP,

    ∵AD∥GF,

    ∴∠HDP=∠GFP,

    ∵∠GPF=∠HPD,

    ∴△GFP≌△HDP(ASA),

    ∴GP=HP,GF=HD,

    ∵四边形ABCD是菱形,

    ∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°,

    ∵∠ABC=∠BEF=60°,菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,

    ∴∠GBF=60°,

    ∴∠HDC=∠GBF,

    ∵四边形BEFG是菱形,

    ∴GF=GB,

    ∴HD=GB,

    ∴△HDC≌△GBC,

    ∴CH=CG,∠HCD=∠GCB

    ∴PG⊥PC(到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)

    ∵∠ABC=60°

    ∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°

    ∵∠HCG=∠HCB+∠GCB

    ∴∠HCG=120°

    ∴∠GCP=60°

    ∴[PG/PC]=tan∠GCP=tan60°=

    3;

    (3)∵∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),

    ∴∠PCG=90°-α,

    由(1)可知:PG:PC=tan(90°-α),

    ∴[PG/PC]=tan(90°-α).

    点评:

    本题考点: 菱形的性质;全等三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.

    考点点评: 本题是一道探究性的几何综合题,主要考查菱形的性质,全等三角形的判定及三角函数的综合运用.