|x-1|+|x-2|+…+|x-2005|的最小值是______.

1个回答

  • 解题思路:此题可以用数形结合来解题:x为数轴上的一点,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2005|表示:点x到数轴上的21个点(1、2、3、…、2005)的距离之和,由于原式的绝对值共有2005项,最中间的那一项是|x-1003|,所以只需取x=1003,它们的和就可以获得最小值.

    由于原式的绝对值共有2005项,最中间的那一项是|x-1003|,所以只需取x=1003,它们的和就可以获得最小值,原式可以展开为:

    |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2005|

    =|1003-1|+|1003-2|+…+|1003-1003|+|1003-1002|+…+|1003-2005|

    =1002+…+1+0+1+…+1002

    =2×(1+2+3+…+1002)

    =1005006.

    故答案为:1005006.

    点评:

    本题考点: 绝对值函数的最值.

    考点点评: 此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题,利用已知得出x=11时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-21|能够取到最小值是解题关键.