已知函数f(x)=-[1/3]x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a处取得极值,

2个回答

  • 解题思路:(1)利用f′(a)=0找到b=2a再代入f(x)=-[1/3]x3+bx2-3a2x即可.

    (2)转化为g'(x)在区间(0,1)上有根且根两侧导函数值左负右正即可.

    (1)由题得 f′(x)=-x2+2bx-3a2

    因为f′(a)=0⇒b=2a⇒f(x)=-[1/3]x3+2ax2-3a2x

    所以f(x)=-[1/3]x3+2ax2-3a2x.

    (2)由已知,g(x)=2x3+3ax2-12a2x+3a3,令g'(x)=0⇒x=a或x=-2a

    ①若a>0⇒当x<a或x>-2a时,g′(x)>0;当-2a<x<a时,g′(x)<0

    所以当x=a∈(0,1)时,g(x)在(0,1)有极小值.

    ②同理当a<0时,x=-2a∈(0,1),即a∈(-[1/2],0)时,g(x)在(0,1)有极小值

    综上所述:当a∈(0,1)∪(-[1/2],0)时,g(x)在(0,1)有极小值

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 本题考查利用可导函数的极值点来研究原函数.可导函数的极值点一定是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点