Question

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中E为AB的中点．

Answer 1

解题思路：（1）根据正方体的结构特征，我们可得BC₁⊥平面A₁C，进而∠C₁A₁H是直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角，解三角形C₁A₁H即可得到直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角大小；

（2）取DB₁的中点O，由三角形中位线定理及正方体的几何特征，可得四边形OHBE是平行四边形，进而BH∥EO，由线面平行的判定定理可得EO∥平面EB₁D，即BC₁∥平面EB₁D

（3）结合（1），（2）中BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO，由线面垂直的第二判定定理可得EO⊥平面B₁CD，再由面面垂直的判定定理可得平面EB₁D⊥平面B₁CD．

（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中

A₁B₁⊥平面BC₁

∴A₁B₁⊥BC₁

又∵B₁C⊥BC₁

∴BC₁⊥平面A₁C

设B₁C∩BC₁=H，

则∠C₁A₁H是直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角

又∵A₁C₁=

2a，C1H=

2

2a

∴sin∠C₁A₁H=[1/2]

∴∠C₁A₁H=30°

（2）直线BC₁∥平面EB₁D，理由如下：

取DB₁的中点O，则OH∥DC∥AB，OH=EB

∴四边形OHBE是平行四边形

∴BH∥EO

∴EO∥平面EB₁D，

∴BC₁∥平面EB₁D

证明：（3）∵BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO

∴EO⊥平面B₁CD

∵EO⊂平面EB₁D

平面EB₁D⊥平面B₁CD

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定；空间点、线、面的位置．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握正方体的几何特征，为证明线面垂直及线面平行准备条件，是解答本题的关键．