Question

（理）已知圆（x+4）2+y2=25的圆心为M1，圆（x-4）2+y2=1的圆心为M2，一个动圆与这两个圆都外切．

Answer 1

解题思路：（I）利用定义法求动点M的轨迹方程，先利用圆与圆相切的几何条件，得到动点M满足的几何条件，再由曲线定义判断曲线形状，最后写出曲线的标准方程；（II）将经过点M₂的直线方程设为x=ty+4形式，代入（I）中的曲线，利用韦达定理和焦半径公式，将所求转化为关于t的函数，求其最小值即可

（I）∵动圆M与这两个圆都外切，

∴|MM₁|-5=|MM₂|-1

即|MM₁|-|MM₂|=4，

∵|MM₁|-|MM₂|=4，4＜|M₁M₂|=8

∴动圆圆心M的轨迹是以M₁，M₂为焦点的双曲线的右支

由定义可得 c=4，a=2，b²=12

∴动圆圆心M的轨迹C的方程为

x2

4−

y2

12＝1（x≥2）

（II）∵M₂（4，1），

∴设经过点M₂的直线方程为x=ty+4

代入双曲线方程

x2

4−

y2

12＝1，并整理得（3t²-1）y²+24ty+36=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有△＞0，y₁+y₂=-[24t

3t2−1，y₁y₂=

36

3t2−1

由y₁y₂＜0，得t2＜

1/3]

而|AM₁|•|BM₁|=e（x₁+1）•e（x₂+1）=4（ty₁+5）（ty₂+5）

=4[t²（y₁y₂）+5t（y₁+y₂）+25]

=4[t²•

36

3t2−1+5t•（-

24t

3t2−1）+25]

=-112×（1+

1

3t2−1）+100

∵-1≤3t²-1＜0

∴当3t²-1=-1时，即t=0时，|AM₁|•|BM₁|取得最小值100

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查了定义法求动点轨迹方程的方法，直线与双曲线的位置关系，韦达定理的应用及设而不求的解题技巧