费尔马是一个十分活跃的业余数学家,喜欢和别人通信讨论数学问题.他差不多和同时代的数学家都通过信,受到人们的敬重.
费尔马经常提出一些难题,寄给熟人,请他们解答,然后再把这些解答与自己的解答对照.他提出的猜想,有被否定掉的；但是他证明过的定理,却从没有被推翻过.其中,不少成了后来书上的重要定理.费尔马在数论上作过杰出贡献.例如,他发现并证明了一个很重要的基本定理：
P-1
若P为素数,正整数a不能被P整除,那么a -1这个数,一定能够被P整除.
这个定理叫做费尔马定理或者费尔马小定理.1640年,当费尔马证完这个定理后,兴奋地写信告诉他的朋友说：“我浸浴在阳光中!这个定理按其在数论和近世代数中的重要性来说,的确是值得称道的.
6
比如我们要考察5-1这个数能不能被7整除,根据费尔马小定理,由于
6 7-15-1=5-1,所以知道它一定能被7整除.事实也正是这样.
6
5-1=15624=7×2232.
100
因为这个数小,所以可以写出来判断.如果是问1981-1能不能被101整除,就不好算出来看了,但是根据
100 101
1981-1=1981-1-1,
所以可以保险这个数能被101整除.1621年,20岁的费尔马,在巴黎买了一本丢番都的《算术学》的法文译本.不知他在什么时候,在书中关于不
2 2 2定方程x+y=z的全部正整数解的这一页上,用拉丁文写了这么一段话：
“任何一个数的立方,不能分解为两个数的立方之和；任何一个数的四次方,不能分解成两个数的四次方之和；一般来说,任何次幂,除平方以外,不可能分解成其他两个同次幂之和.我想出了这个断语的绝妙证明,是书上这空白太窄了,不容我把证明写出来.”
在自己的书上空白处写心得,是一些人的读书习惯,通常叫作“页端笔记”.费尔马的这段页端笔记,用数学的语言来表达就是：形如
n n n
x+y=z的方程,当n大于2时,不可能有正整数解.
费尔马虽然在数学上有很多重大成就,但是他生前几乎没有出版过什么数学著作.他的著作大都是在他死后,由他的儿子,把他的手搞和与别人往来的书信整理出版的.
费尔马死后,有人翻阅他的那本丢番都的书,发现了那段写在书眉上的话.1670年,他的儿子出版了费尔马里的这一部分页端笔记,大家才知道这一问题.后来,人们就把这一论断,称为费尔马大定理或者费尔马问题.
哥德巴赫猜想
哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使.后来,他成了一名数学家.
哥德巴赫和费尔马一样,很喜欢和别人通信讨论数学问题.不过,他在数学上的成就和声望,远远不如费尔马,有的人甚至认为他不是数学家.其实,有资料说,他是彼得堡科学院院士.
哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信.他们有15年以上的通信历史,经常讨论的是数学问题.
1742年6月7日,哥德巴赫写信告诉欧拉,说他想冒险发表一个猜想：
“大于5的任何数是三个素数的和.”这里要顺便交待一句,有一个时期,人们把1看成是特殊的素数；后来,才像今天这样,把1与素数严格区别开来.同年6月30日,欧拉在给哥德巴赫的回信中说,他认为：“每一个偶数都是两个素数之和,虽然我还不能证明它,但我确信这个论断是完全正确的.”
这次通信的内容传播出来后,当时数学界把他们两人通信中谈到的问题,叫做哥德巴赫问题.后来,它被归纳为：
命题A：每一个大于或者等于6的偶数,都可以表示为两个奇素数的和；
命题B：每一个大于或者等于9个奇数,都可以表示为三个奇素数的和.
这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想,实际上,应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想.比如
50=19+31,51=7+13+31
52=23+29,53=3+19+31
当然,表示方法可能是很多的.比如
50=3+47=7+43=13+37=19+31
很明显,如果命题A成立,那么,命题B也就成立.因为假设N是大于或者等于9的奇数,那么,N-3就是大于或者等于6的偶数.命题A成立,就是存在着奇素数P与P,使得N-3=P+P,这就是N=3+P+P,就像前面的
1 2 1 2 1 250与53的关系一样.但反过来,如果证明了命题B成立,并不能保证命题A就一定成立.
19世纪的很多大数学家,都研究过哥德巴赫猜想,但是进展不大.
1900年,希尔伯特在巴黎国际数学家会议上,提出了23个研究题目,这就是有名的希尔伯特问题,可以说这是23个大难题.哥德巴赫猜想命题A,与另外两个有关的问题一起,被概括为希尔伯特第八问题.
到了1912年,在第五届国际数学会议上,著名的数论大师兰道发言说,哥德巴赫问题即使改成较弱的命题C,也是现代数学家所力不能及的.
命题C意思是：不管是不超过3个,还是不超过30个,只要你想证明存在着一个这样的正数c,而能“使每一个大于或等于2的整数,都可以表示为不超过c个素数之和”.
过了9年,到了1921年,著名数论大师哈代在哥本哈根召开的国际数学会上说：哥德巴赫猜想的困难程度,可以与任何没有解决的数学问题相比拟.哈代也认为是极其困难的,但是不像兰道说得那样绝对.
1930年,苏联25岁的数学家西涅日耳曼,用他创造的“正密率法”,证明了兰道说的那个现代数学家力不能及的命题C,还估算了这个数c不会超过S,并算出S≤800000,人们称S为西涅日耳曼常数.
西涅日耳曼的成就震惊了世界.这是哥德赫猜想研究史上的一个重大突破.可惜他只活了33岁.
1930年以后,包括兰道在内的很多数学家,竟相缩小S的估值,到1937年,得到S≤67.
在1937年,哥德巴赫猜想的研究,又取得了新的成就.苏联著名的数学家伊·维诺拉多夫,应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”,和他自己创造的“三角和法”证明了：
充分大的奇数,都可以表示为三个奇素数之和.
伊·维诺格拉多夫基本上解决了命题B,通常称为“三素数定理”.
坚固无比的堡垒哥德巴赫猜想,正在被人们逐个攻破.
这里要注意,命题B所说的是每一个大于或者等于9的奇数,都可以表示为三个奇数之和.数学家在证明这个命题时,往往把9放大到很大很大,比方说放大到十万,人们只要证明每一个大于十万的奇数,都可以表示为三个奇素数之和,就算基本上证明了命题B.对于剩下的那一部分从九到十万的有限个奇数,是否每个都可以表为三个奇素数之和,可以暂时不管,留待以后去检验.所以叫做“基本上”证明了命题B.
实际上,维诺格拉多夫未检验的有限个奇数,是9到10的400万次方之间的奇数,即1后面跟400万个0那么多个数中的奇数.如果真要去逐个检验每个是否能表为三个奇素数的和的话,那时还没有电子计算机,就算用现在最快的电子计算机,从他那时算到现在也算不完.再说也没有那么大的素数表供他使用.前面已经介绍过,现在最好的素数表才编到五千万.可见凡是大于10的400万次的奇数都能表为三个奇素数之和,这点被证明了,这就更不简单了.因为前面的那些奇数到底还是有限个,而这里证明了的是无穷多个!
维诺格拉多夫的工作,相当于证明了西涅日耳曼常数S≤4.
命题B基本上被解决了,于是有些不太了解数论情况的人,曾经认为只差一步就到命题A了,谁知这一步的腿迈出了40多年,还没有着地哩!
有人核对过从6到3300万的任何偶数,都能表为两个奇素数之和.这种核对工作是一直有人在作的.
有的人核对,是想找到一个不能表为两个奇素数之和的偶数,即找到一个反例,一举否定哥德巴赫猜想.这样,哥德巴赫猜想便宣告解决.
有的人核对,是想得到一些统计数字,摸清一些规律,为证明哥德巴赫猜想作准备.
当然,也有人可同时兼有上述两种意图.
这里要注意,无论是从6算到3300万也好,还是从6算到3300亿也好,都是有限个数.由这些有限个数统计出的任何数据,除非是反例,都是不能用来当作证明的依据.
在命题A的研究过程中,人们引入了“殆素数”的概念.
什么叫殆素数?我们知道,除1以外的任何一个正整数,一定能表示成若干个素数的乘积,这其中的每一个素数,都叫做这个正整数的一个素因子.每一个正整数,相同的素因子要重复计算,它有多少个素因子,是一个确定的数.如果这个正整数本身就是素数,就说它只有一个素因子.以25到30这六个数为例：
25=5×5 有2个素因子
26=2×13 有2个素因子
27=3×3×3 有3个素因子
28=2×2×7 有3个素因子
29是素数 有1个素因子
30=2×3×5 有3个素因子
殆素数就是素因子 （包括相同的和不同的）的个数不超过某一个固定常数的自然数.例如25到30的六个数中,25、26、29三个数,是素因子不超过2的殆素数,其余三个不是.要是说素因子不超过3的数是殆素数,那这六个数就是殆素数.
应用殆素数的概念,可以提出一个新命题 D,通过对这个命题的研究,来接近命题A.
命题D：每一个充分大的偶数,都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和.
这个命题简记为“m+n”.
注意,这里的“3+4”或者“1+2”等是数学命题的代号,与3+4=7或者1+2=3毫无任何关系.就像有的电影院把座位13排8号简写作“13-8”,与13-8=5没有任何关系一样.
例如,“1+2”就是每个充分大的偶数,都可以表示成素因子的个数不超过1个（即素数）,与素因子的个数不超过2个的两个数的和.比如100=23+7×11,434=31+13×31,168=79+89等都是合乎要求的.如果能证明,凡是比某一个正整数大的任何偶数都能像这样,表示成一个素数加以两个素数相乘,或者表示成一个素数加上一个素数,就算证明了“1+2”.
如果能证明“1+1”,就基本上证明了命题A,也就是基本上解决了哥德巴赫猜想.等到那时,哥德巴赫猜想就该叫哥德巴赫定理了.——人们已经为此奋斗了将近240年.
参考资料： http://baike.baidu.com/view/606513.htm