Question

两个收敛的级数相加构成的级数还收敛吗

Answer 1

可以直接用定义证明,两个收敛的级数相加构成的级数还是收敛的.

∑ak＝a.∑bk＝b,看∑（ak+bk）

任意ε＞0,存在自然数N.,对于任意n≥N,总有|a-∑[1≤k≤n]ak|＜ε/2

也存在自然数M.,对于任意m≥M,总有|a-∑[1≤k≤m]bk|＜ε/2

取P＝max｛N.M｝.则当p≥P时,总有

|（a+b）-∑[1≤k≤p]（ak+bk）|＜ε/2+ε/2＝ε

即：∑（ak+bk）＝a+