（1）证明：设{a n}，{b n}的公差分别为d 1，d 2（d 1，d 2均不为0），则
lim
x→∞
a n
b n =
lim
x→∞
a 1 +(n-1) d 1
b 1 +(n-1) d 2 =
d 1
d 2 ，…（4分）
lim
x→∞
S n
T n
lim
x→∞
n a 1 +
n(n-1)
2 d 1
n b 1 +
n(n-1)
2 d 2 =
d 1
d 2 ，
所以
lim
x→∞
a n
b n =
lim
x→∞
S n
T n ．…（8分）
（2）设{a n}，{b n}的公比分别为q 1，q 2（q 1，q 2均为不等于1的正数），则
lim
n→∞
a n
b n =
lim
n→∞
a 1 q 1 n-1
b 1 q 2 n-1 =
a 1
b 1
lim
n→∞ (
q 1
q 2 ) n-1 =
a 1
b 1 ( q 1 = q 2 )
0( q 1 ＜ q 2 ). …（11分）
lim
n→∞
S n
T n =
a 1 (1- q 2 )
b 1 (1- q 1 )
lim
n→∞
1- q 1 n
1- q 2 n =
a 1
b 1 ( q 1 = q 2 )
a 1 (1- q 2 )
b 1 (1- q 1 ) (0＜ q 1 ＜1，0＜ q 2 ＜1)
0(0＜ q 1 ＜ q 2 ， q 2 ＞1). …（14分）
所以使
lim
x→∞
a n
b n =
lim
x→∞
S n
T n 成立的条件是0＜q 1＜q 2，q 2＞1或q 1=q 2．…（16分）