Question

在直角坐标系xOy上取两个定点A1（-2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=3．

Answer 1

解题思路：（　　）由直线方程的点斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，联解并结合mn=3化简整理得

x

2

4

+

y

2

3

＝1

，再由N₁、N₂不与原点重合，可得直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；

（2）由题意，点G（1，0）和G′（-1，0）为椭圆的焦点，则PG+PG′=4，从而PG′=4-PG，即可得出结论．

（1）依题意知直线A₁N₁的方程为：y=[m/2]（x+2）…①；

直线A₂N₂的方程为：y=-[n/2]（x-2）…②

设Q（x，y）是直线A₁N₁与A₂N₂交点，①、②相乘，得y²=-[mn/4]（x²-4）

由mn=3整理得：

x2

4+

y2

3＝1

∵N₁、N₂不与原点重合，可得点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为：

x2

4+

y2

3＝1（x≠±2）．

（2）由题意，点G（1，0）和G′（-1，0）为椭圆的焦点，则PG+PG′=4，

∴PG′=4-PG，

∴点G′（-1，0）为圆心，4为半径的定圆，总与圆P内切，

方程为（x+1）²+y²=16．

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用；轨迹方程．

考点点评： 本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．