Question

急在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法

Answer 1

利用：a1=1及a(n＋1)=2an/(2＋an),得：

a1=1

a2=2/3

a3=1/2=2/4

a4=2/5

猜测：an=2/(n＋1)

证明：

1、当n=1时,an=a1=2/(1＋1)=1,满足；

2、设：当n=k时,ak=2/(k＋1)

则当n=k＋1时,

a(k＋1)=2ak/(2＋ak) 【以ak=2/(k＋1)代入】

=2/[(k＋1)＋1]

即当n=k＋1时也成立

从而得证.

bn=an/n=2/[n(n＋1)]=2[(1/n)－1/(n＋1)]

则：

Sn=2{[(1/1)－(1/2)]＋[(1/2)－(1/3)]＋[(1/3)－(1/4)]＋…＋[1/n－1/(n＋1)]}

=(2n)/(n＋1)